Правда ли, что математика – самый сложный предмет?Математика вызывает трудности у многих школьников. Но действительно ли её так трудно понять? Давайте разбираться вместе
Виртуальный
Учитель
Учитель
Вписанная окружность
Вступление
Ранее Вы изучили замечательные точки треугольника. Одна из них – точка пересечения биссектрис – будет связана с темой сегодняшнего занятия. Мы поговорим о вписанной окружности. Именно окружность вписанная в многоугольник позволит Вам быстро и просто считать площади различных фигур, начиная от треугольников и заканчивая любыми правильными многоугольниками. Вы также вспомните определения окружности и радиуса вписанной окружности, определите правильный описанный многоугольник. Сегодня Вы также узнаете как найти радиус вписанной окружности и что означает описанный правильный многоугольник. Приступим к изучению новой темы.
Какие темы нужно изучить, чтобы знать эту тему
Теория по теме Вписанная окружность
Окружность вписана в многоугольник, если она касается всех его сторон. Тогда такой многоугольник называется описанным около окружности.
Например, на рисунке окружность вписана в четырёхугольник, а четырёхугольник описан около окружности.
C
C
B
A
В любой треугольник можно вписать окружность. Точка пересечения биссектрис равноудалена от всех сторон треугольника. Если мы проведём окружность с радиусом, равным расстоянию от инцентра до сторон, она будет вписанной. Таким образом радиус вписанной окружности равен расстоянию от точки пересечения биссектрис до сторон.
90
90
O
F
A
C
B
E
D
Давайте изучим теорему.
Теорема: Вписать окружность можно в любой правильный многоугольник, но только единственным образом.
Докажем эту теорему, используя знания об описанной окружности.
- Выберем центр многоугольника, он же и центр описанной окружности. Заметим, что треугольники AOB и BOC - равные, а значит и высоты OH и OI равны.
- Получается, что расстояние от точки O до каждой из сторон одинаково. Соответственно OH - радиус вписанной окружности, так же как и OI.
- Докажем единственность полученной окружности от противного. Тогда есть ещё один центр Q равноудалённый от всех сторон многоугольника, а значит он совпадает с центром описанной окружности, и соответственно вторая окружность это первая окружность вписанная в многоугольник. ЧТД
Есть несколько полезных фактов и следствий из данной теоремы:
- Окружность вписанная в многоугольник касается сторон многоугольника в центрах.
- Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Также многоугольник внутри которого вписали окружность, относительно этой окружности называется описанным, описанный правильный многоугольник.
Заключение
Вы сегодня узнали, что такое вписанная окружность, а также что означают радиус вписанной окружности. Мы познакомились с формулой радиуса описанной окружности, а также узнали что такое окружность вписанная в многоугольник и описанный правильный многоугольник. Кроме того Вы узнали, что в любой треугольник можно вписать окружность, так как в любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке. Вы поняли, что центр этой окружности находится в точке пересечения биссектрис. Также Вы узнали, чему равен радиус вписанной окружности. Существование вписанной окружности – важный геометрический факт. В дальнейшем он пригодится Вам при решении задач. Все полученные Вами сегодня знания позволят Вам легко решать сложные задачи и доказывать различные теоремы. И теперь, чтобы закрепить полученные знания, у Вас есть возможность потренироваться.
К вашей цели с Виртуальным учителем
Аккаунт
Учёба